Lexikon

Schneidet man einen Kegel mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft, so ergibt sich als Schnittkurve eine «Parabel».

Stellt man diese Kurve im Koordinatensystem so dar, dass die y-Achse parallel zur Symmetrieachse der Parabel verläuft, kann man die Kurve mit einer quadratischen Funktionsgleichung beschreiben:

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie überall den gleichen Abstand haben.

Die Parallelität wird oft mittels kleiner Doppelstriche angezeigt.

Das Parallelogramm (auch «Rhomboid») ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind.

Beachte:

Fläche  =    Seitenlänge mal zugehörige Höhe (Höhe = Streifenbreite)

Zum «Parkettieren» eignen sich (wenn man nur eine einzige Sorte Vielecke einsetzen will) das Quadrat, das Rechteck, das Parallelogramm und damit auch jedes Dreieck – aber auch ein allgemeines Viereck, ein reguläres Sechseck und diverse weitere Vielecke mit speziell abgestimmten Längen und Winkeln.

Siehe auch reguläres Parkett, Penrose-Parkett

Nichtperiodische Parkette mit einer kleinen Anzahl verschiedener Bausteine, mit denen sich zwar parkettieren lässt, sich aber kein regelmässig wiederholendes Muster einstellt. Der Mathematiker Roger Penrose (* 1931) hat als einer der Ersten solche Parkette gefunden.

Beispiel
Die drei Ziffern 1, 2, und 3 können auf sechs verschiedene Arten angeordnet werden:
123
132
213
231
312
321

Ein «platonischer Körper» ist ein regelmässiges Polyeder: Alle Begrenzungsflächen sind zueinander kongruente regelmässige Vielecke, und an jedem «Knoten» treffen gleich viele Vielecke aufeinander.

Jeder platonische Körper besitzt eine In- und eine Umkugel mit gemeinsamem Zentrum.

siehe archimedische Körper, eulerscher Polyedersatz

Aus dem Griechischen («Vielflächer») stammende Bezeichnung für einen Körper, der durch (ebene) Vielecke begrenzt wird.

Der abgebildete Kuboktaeder zum Beispiel kann durch gleichmässiges Abschleifen der Ecken eines Würfels je bis in die Kantenmitten erzeugt werden. Er besteht aus 6 Quadraten und 8 gleichseitigen Dreiecken, hat 12 Ecken und 24 Kanten.

Wichtige spezielle Formen

♦
♦

reguläre Polyeder (siehe platonische Körper)
halbreguläre Polyeder (siehe archimedische Körper)
konvexe Polyeder (siehe eulerscher Polyedersatz)

3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 3⁵
a • a • a • a = a⁴

Für grosse (und auch für sehr kleine positive Zahlen) werden Zehnerpotenzen eingesetzt: Basis der Potenz ist dann die Zahl 10.

siehe auch Potenzgesetze

Für Potenzen mit natürlichen Zahlen als Exponenten gelten folgende Gesetze (a bezeichnet die Basis, n und k die Exponenten):

Bei Potenzen mit positiven Basen sind die Zahlen 0 und 1 sowie negative Zahlen als Exponenten sinnvoll. Dies lässt sich mit dem Gesetz 2 zeigen:

Laut Gesetz 3 gilt:

Aus der Definition der Wurzel folgt:

Weil das Ergebnis beider Gleichungen (im Beispiel = 10) identisch ist, gilt somit

(Vergleiche die Ausdrücke in den Klammern der beiden identischen Gleichungen.)

Mit Taschenrechnern, welche eine «y^x»-Taste haben, lassen sich so Wurzeln direkt berechnen.

Beispiel

Beispiele:

30 = 2 · 3 · 5

90 = 2 · 3² · 5

68'607 = 3⁴ · 7 · 11²

Bei den natürlichen Zahlen unterscheidet man die «Primzahlen» von den «zusammengesetzte Zahlen».

Primzahlen lassen sich nur durch 1 und sich selbst teilen. Eine Primzahl hat demnach genau zwei (unechte)  Teiler: die Zahl 1 und sich selbst. Die Zahl 1 ist nach diesen Kriterien keine Primzahl (sie hat nur einen Teiler).

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Zusammengesetzte Zahlen lassen sich in eindeutiger Weise in Primfaktoren zerlegen, aus denen sich alle Teiler der betreffenden Zahl gewinnen lassen.

Beispiel:

60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 =  2 · 2 · 3 · 5

Folgende Zahlen sind echte Teiler von 60:

2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30

Primzahlen zwischen 1 und 100

Primzahlen spielen beim Verschlüsseln von Dokumenten (Kreditkarten, Mailverkehr) eine zentrale Rolle.

Ausser bei den Zahlen 2 und 3 sind zwei Primzahlen immer mindestens zwei Schritte auf dem Zahlenstahl voneinander entfernt. Zwei Primzahlen, die sich um genau 2 unterscheiden, heissen «Primzahlzwillinge».

Beispiele:

(3;5), (5;7), (11;13), (17;19) aber auch (71;73) oder (1'019;1'021)

Primzahlzwillinge werden «gegen oben» immer seltener. Stark zu vermuten ist, dass es trotzdem unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Erstaunlicherweise konnte dies aber bis heute nicht bewiesen werden.

Der italienische Mathematiker Bonaventura Cavalieri (etwa 1598-1647) hat das folgende Prinzip formuliert:
«Sind die Querschnittflächen von zwei Körpern auf jeder Höhe gleich gross, sind auch die Volumen gleich gross.»

Mit dem Prinzip von Cavalieri lassen sich zum Beispiel das Volumen eines schiefen Prismas, eines schiefen Zylinders oder auch das Kugelvolumen ermitteln.

Verschiebt man ein Vieleck senkrecht zur Ausgangslage durch den Raum, so überstreicht es ein (gerades) Prisma. Grund- und Deckfläche sind kongruent, die Seitenflächen sind Rechtecke.

Quader und Würfel sind spezielle gerade Prismen.

Erfolgt die Verschiebung des Vielecks nicht senkrecht («schräg») zur Ausgangslage, so spricht man von einem «schiefen Prisma».

Um räumliche Objekte auf einem Blatt Papier darzustellen, gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Zentralprojektion
Bild bei punktförmiger Lichtquelle

Parallelprojektion
Bild bei parallelen Lichstrahlen (Sonne)

Fallen die Lichtstrahlen senkrecht auf die Bildebene, so spricht man von einer «senkrechten Projektion» oder «Normalprojektion». Fallen die Lichtstrahlen hingegen in einem andern Winkel auf redet man von einem Schrägbild.

Promille (‰) bedeutet «Tausendstel» (lateinisch PRO MILLE «von tausend»).

Beispiel:

Promillegrenze:
Wer in der Schweiz mit einem Blutalkoholwert von über 0,5 ‰  ein Motorfahrzeug fährt, muss mit rechtlichen Folgen rechnen.

Zwei Grössen x und y heissen «proportional» zueinander, wenn das Verdoppeln (Halbieren, Dritteln, …) der einen Grösse das Verdoppeln (Halbieren, Dritteln, …) der anderen Grösse bewirkt.

In der Wertetabelle erkennt man Proportionalität daran, dass der Quotient aus zugeordneten Werten konstant ist, ausgenommen das Paar (0/0).

Die konstante Grösse k in der Gleichung y = k · x heisst «Proportionalitätsfaktor» oder «Proportionalitätskonstante».

Prozent (%) bedeutet «Hundertstel» (lateinisch PRO CENTUM «von hundert»).

Diese Abmachung legt fest, dass beim Rechnen Mal- und Divisionszeichen («Punktoperationen», «Operationen zweiter Stufe»)  stärker binden als Plus- und Minuszeichen («Strichoperationen», «Operationen erster Stufe»).

Multiplikation und Division heissen «Punktoperationen», weil ihre Operationszeichen aus Punkten bestehen (Operationen zweiter Stufe).

Siehe auch Punkt vor Strich

Konstruktiv ist sie – einfacher als durch einen Drehvorgang – wie folgt auszuführen:

Beispiel:

Punktsymmetrische Figuren

Propeller und viele Spielkarten sind punktsymmetrische Figuren.

Beachte:

Mit G₁ und G₂ als Boden- und Deckelfläche ergibt sich das Volumen: